Curvaturas hiperbólicas y parabólicas en el círculo.

La geometría hiperbólica es aquella que tiene (o está relacionada con) una curvatura cóncava, de signo negativo; La geometría parabólica es la que tiene (o está relacionada con) una curvatura convexa, de signo positivo. Pero ¿si cóncavo y convexo son dos perspectivas distintas – la de dentro y la de afuera – de una misma realidad, la curva, por qué se distingue y se separa entre estos dos tipos de geometría como si fueran diferentes? Bueno, pues en mi opinión su análisis se ha separado porque la simetría, el plano y la referencia métrica por la que se rigen, son distintas.

Este post y como todos los de este blog es especulativo, aquí digo ideas que no están aceptadas y La mayoría de ellas no están completamente desarrolladas; Se trata de pensar y analizar libremente siguiendo la lógica y la razón. Actualmente cuando en matemáticas se habla de «análisis» se piensa en aritmética, álgebra y cálculo; la geometría descriptiva (las figuras visuales) no se consideran actualmente como verdaderas matemáticas y su análisis por medio de la observación de la figura geométrica puede entenderse en el mejor se los casos como una ayuda heurística pero nunca como un método científico y mucho menos como una prueba matemática. Esta forma altamente aritmetizada y algebraicizada de entender las matemáticas ha venido tomando cada vez más relevancia desde que en el siglo XIX se llevara a cabo la formalización extrema de la aritmética y de la geometría. De esta forma se ha llegado a un punto en el que se han hecho desarrollos abstractos cuya geometría descriptiva, a qué figura corresponderían en la realidad natura, se desconoce hoy.

Antes de llegar a las curvaturas del círculo voy a explicar cómo entiendo el problema de las áreas del Teorema de Pitágoras (ya lo mencioné en posts anteriores). Es sabido que la suma de las áreas de a^2 y b^2 es igual al área de c^2. ¿Cómo es posible que estas áreas sean iguales si los lados de c^2 no guardan ninguna proporción con los lados de a^2 o b^2? EL lado de c^2 es la hipotenusa de uno de los cuadrados a^2 o b^2, y su longitud tiene infinitos decimales, es inconmensurable?. Y es más, ¿por qué entonces a^n+b^n no es igual a c^n cuando n es mayori que dos?

Para entender este problema hay que darse cuenta que los lados del cuadrado a^2 o b^2, lo que está afuera de ellos, su borde exterior, no siguen la misma simetría ni unidad de referencia métrica que lo que está dentro ellos, las diagonales que podemos trazar en su interior. Sin embargo esos 8 lados externos de a^2 y b^2 son equivalentes a las dos diagonales internas de c^2; y las cuatro diagonales internas de a^2 y b^2 son equivalentes a los cuatro lados externos de c^2.

Es decir, a^2 y b^2 no son iguales a c^2 pero son equivalentes. Hay una equivalencia entre lo exterior y lo interior de a^2 y b^2 con lo interior y los exterior de c^2 y viceversa.

Dicho de otra forma, la simetría «externa» racional de los 8 lados de a^2 y b^2 se corresponde con la simetría «interna» de las dos diagonales irracionales que hay dentro del cuadrado c^2, y la simetría interna de las cuatro diagonales de a^2 y b^2 se corresponde con la de los 4 lados (simetría externa) del cuadrado C^2. Es decir, los lados de los cuadrados a y b y las hipotenusas del cuadrado c son racionales, mientras que las hipotenusas de los cuadrados a y b son irracionales y los lados del cuadrado c son irracionales. De este modo racionalidad e irracionalidad se hacen comparables porque en su conjunto, en este caso, son completamente equivalentes.

Si a^n y b^n no es igual a c^n cuando n es mayor de 2, entiendo que tiene que ser porque no existe esta equivalencia total de simetrías internas y externas en tales casos.

Al hablar de «simetría» estoy pensando en la «referencia métrica primaria», racional o irracional, que rige a cada línea, en la proporción dada por el segmento primario que nos sirve de referencia para medir las longitudes lineales; (intuyo que este segmento básico correspondería a lo que Riemann llamó «quanta» de sus múltiples variedades o a lo que Hermann Weyl llamó «gauge». También he leído algo de que Lobachevsky al hablar de rectas se refería al segmento más pequeño posible, y esa idea podría estar también relacionada con la idea de magnitud de referencia primera).

Para explicar lo que quiero decir tengo que hacerlo imaginando cómo pudieron comenzar a hacerse las primeras mediciones de distancias rectas en los tiempos remotos, es decir, pensando cómo pudieron ser los fundamentos primeros. (Esto también lo he mencionado ya en posts anteriores, no sé si en español o si sólo en inglés). En un primero momento hubo que partir necesariamente de una primera abstracción que fue considerar una distancia, la dada por un codo, un pié, un pulgar, un palmo, un brazo, etc, como la unidad de referencia primaria para medir distancias rectas. Nadie se puso a contar cuántos puntos o líneas cabían dentro de ese espacio, su dimensión 1, es una abstracción. Pero no es una abstracción total porque en ese segmento de referencia primera hay un punto central que es concreto y específico y divide al segmento en dos mitades. (Así entiendo también los números cuando se trata de cantidades mayores de 1, no como abstracciones puras, porque con cantidades mayores de 1 también hay una distribución, y distribución indica una idea de espacio).

Después pudo llegarse al acuerdo de llamar segmento de referencia 2 a dos segmentos de uno puestos de forma consecutiva. Aquí la proporción inicial se respeta, hay un punto central y a su lado izquierdo y al derecho hay un segmento de 1. Pero cuando se quieren usar el segmento 1 y el segmento 2 surge un problema de desproporción, no hay un punto central que divida dos partes iguales. Por eso se crea el segmento 3, formado con un segmento 1 y un segmento 2: ahora tenemos 3 segmentos 1+1+1, y la proporción queda restablecida en base al segmento originario 1 que se sitúa en el medio. Es así como se explicarían el nacimiento de los números primos contemplados desde la perspectiva de la medición de distancias lineales. Cada vez que surge una desproporción – una asimetría – se restablece creando un nuevo segmento de referencia basado en la unidad primaria.

Si además queremos medir áreas, tenemos que crear una referencia primaria para áreas, y para construirla se utilizó lógicamente el segmento 1, construyendo el cuadrado de área 1. El valor de ese área es otra abstracción, pero también hay ahí un punto central específico. Todo es consistente hasta ahora geométrica y aritméticamente.

Pero el problema aparentemente insalvable surge cuando se traza la diagonal dentro del cuadrado de referencia 1. Porque aquí surge una desproporción dentro de la unidad misma, de manera que no se puede acudir a la unidad de referencia primera para restablecer la proporción, la simetría perfecta, y nos encontramos que no podemos determinar el valor de la diagonal en base a nuestras referencias lineales y cuadradas, las que corresponden a las coordenadas XY sobre las que fueron construidas, porque obtenemos infinitos decimales. Nuestra unidad de referencia para medir áreas contiene en ella misma una segmento relativo a la diagonal Z que es inexpresable con nuestras referencias primarias racionales relativas a X e Y.

Lo mismo ocurre cuando se compara el perímetro de la circunferencia y el diámetro. Pero ¿aquí por qué surge la inconmensurabilidad expresada en los infinitos decimales de Pi, si el radio mide siempre lo mismo y el diámetro está proporcionado con el radio? A mi modo de ver surge porque la circunferencia es un área compleja formada por las dos simetrías racional e irracional que siguen referencias métricas distintas. En el círculo participan dos tipos de cuadrados diferentes, el cuadrado irracional de área 2, dentro del circulo, que toca con sus esquinas al círculo en las diagonales irracionales Z, y el cuadrado de área 4 que toca con sus lados el círculo en las coordenadas X e Y.

Considerando que la curvatura cóncava, hiperbólica, tiene signo negativo y la curvatura convexa, parabólica, tiene signo positivo, se puede ver cómo el punto r+ en el que el cuadrado de área 4 toca con su lado derecho el círculo es positivo, ya que los lados del cuadrado de área 4 tocan el círculo desde afuera, donde la curvatura es parabólica, y se encuentran en las coordenadas racionales X e Y; En cambio el punto i- en el que el cuadrado de área 2 toca el círculo con su esquina superior derecha es negativo, ya que el cuadrado de área 2 toca con sus esquinas el círculo desde dentro, donde la curvatura es hiperbólica, en las coordenadas irracionales Z.

De tal manera que al desplazar el radio +1 desde la coordenada X hasta llegar al punto «i» en la coordenada Z, el radio adquiere signo negativo siendo entonces su longitud -1. Es -1 porque en ese punto «i» estamos midiendo el círculo desde dentro donde la curvatura es hiperbólica. Sobre «i» podemos construir un cuadrado de área -1. El valor de «i» entonces será la raíz cuadrada de -r^2, siendo «r» el valor del radio del círculo, en este caso, -1.

El número i2 tiene como valor la raiz cuadrada de -2, no la raíz cuadrada de -1, y es complejo porque en él concurren las simetrías del cuadrado de área 4 (la racional) y la del cuadrado de área 2 (la irracional), también se puede contemplar i2 como la esquina de los cuadrados parcialmente rotados de área 1 (de simetría racional) y el cuadrado de área 2 (de simetría irracional). La «complejidad» del número viene dada por la concurrencia en él (en la longitud de la diagonal que representa) de las simetrías que rigen los planos racional e irracional.

Dicho de otra forma: en el punto i2 estamos haciendo converger la proyección de los puntos X1 e y1 – en donde los lados del cuadrado de área 4 toca por la curvatura convexa, parabólica, positiva, al círculo de radio 1 – en el punto i2 – que es donde el cuadrado de 4 toca con su esquina superior derecha la cara convexa, hiperbólica, negativa, del círculo de radio raíz cuadrada de 2. El radio = 1 esta regido por la simetría racional, mientras que el radio raíz cuadrada de 2 está regido por la simetría irracional.

Eso no concuerda con que «i» sea siempre la raíz cuadrada de -1. Ni para mi tiene ningún sentido la representación que se hace en el eje de coordenadas de a+bi como número complejo. El punto i, sólo puede ser la longitud de Z hasta ese punto. Y su complejidad procede de la concurrencia de las dos simetrías, los dos planos, las dos referencias métricas, racional e irracional, con las que se está trabajando sin saberlo. ¿Cuanto es la raíz cuadrada de -1? La raíz cuadrada de -1, el lado del cuadrado cuya área vale -1, es -1; lo mismo que la raíz cuadrada de 1 es 1, pero el cuadrado de área -1 y su lado de longitud -1 están en un plano irracional distinto del plano racional sobre el que se halla el cuadrado de área 1.

Aquí se ve más claramente. El cuadrado +1 está construído sobre nuestras coordenadas racionales de referencia métrica XY. Si giramos las coordenadas XY haciéndolas rotar hacia la derecha, la coordenada sobre la que construimos nuestro cuadrado de lado +1 y área +1 resulta que ahora se encuentra en la zona que en nuestras coordenadas racionales XY tiene signo -, está por debajo de X, que es la línea que delimita lo positivo (arriba de X) y lo negativo (debajo de X). Z, está en la Zona negativa de X. Pero eso es porque estamos intentando describir Z desde la perspectiva de nuestras coordenadas racionales, como si todavía estuviéramos en el plano racional de XY; cuando en realidad estamos sobre el plano irracional Xi Yi, que está desplazado, rotado con respecto a XY, En el plano racional, el cuadrado construído sobre Z tiene signo negativo, pero en el plano irracional tiene signo positivo.

(Aquí he añadido una breve explicación al dibujo, aunque está en inglés lo explico más abajo:)

De todas formas, en el dibujo de arriba se puede ver cómo el cuadrado irracional en rojo tiene una mitad con signo positivo (está por encima de la coordenada X) y la otra mitad tiene signo negativo. Es por ello que aparece como una figura compleja, parte real y parte imaginaria.

En todo caso, decir que el punto i elevado al cuadrado tiene valor -1 es un absurdo intento de representar algo que no se ha entendido qué es. -1, es decir i elevado al cuadrado surgió y se usa como una constante para poder dar la solución que se necesita a determinadas ecuaciones, y después se ha intentado racionalizar, explicar de alguna forma lógica, y representar geométricamente. No, el punto de intersección de a y b no es -1. Si a y b tienen valor 1, entonces el segmento i (no el punto, porque el punto no tiene aquí más valor que ser el extremo de un segmento) es la raíz cuadrada del cuadrado irracional creado en el plano imaginario (el plano rotado) de lado raíz cuadrada de -2.

Se podría decir que imaginario es el plano irracional y real es el plano racional. El plano se llamaría imaginario (en vez de irracional) cuando – estando en el plano irracional), las longitudes son reales; por ejemplo, en este caso, sobre la coordenada Z estamos construyendo el cuadrado rojo usando la longitud racional 1, (y no la longitud irracional raíz cuadrada de 2 que es la hipotenusa del cuadrado 1; Pero la hipotenusa del cuadrado rojo -1, que es una longitud irracional, se encuentra sobre la coordenada X real, de manera que se podría decir que esa hipotenusa es irracional (la raíz cuadrada de 2) y se encuentra sobre el plano real.

A mi modo de ver la clave está en darse cuenta de que estamos trabajando con planos diferentes, y todas las complicaciones y confusiones han venido dadas al tratar de expresar en términos de un plano único, el real y racional, un plano diferente que aparece como imaginario y o irracional. Es decir, se está intentando explicar desde el plano estático real y racional de Euclides algo que no está, o no sólo está, en ese plano. Lo mismo ocurre con el círculo y la circunferencia, o en los volúmenes cuando el desplazamiento del plano se hace ortogonalmente.

Esta confusión de planos es el mismo problema que aparece a mi entender en las geometrías no euclidianas, como luego explicaré.

Los cuadrados de raiz irracional, cuyo lado no puede medirse de forma exacta en términos racionales porque aparecen infinitos decimales, deberían medirse en base a su hipotenusa, que es racional. Se ve más claramente si representamos los cuadrados de raíz irracional en el eje rotado Z. sus dos hipotenusas (las diagonales interiores que lo cruzan), están entonces en los ejes X e Y.

De este modo, con la hipotenusa irracional del cuadrado de área 1 construimos el cuadrado de raíz cuadrada 2 sobre el eje Y rotado 45 grados ( es decir, sobre Z) midiéndolo en base a su hipotenusa, que es racional, en vez de con su lado que es irracional; su hipotenusa es el doble del lado del cuadrado de área 1, que también es racional, es decir, 2. Rotamos la coordenada Z 45 grados y con la hipotenusa racional del cuadrado de área 2 construimos (sobre los ejes YX) el cuadrado racional de área 4 cuya cuyo lado racional es 2 y cuya hipotenusa es irracional. Rotamos otros 45 grados las coordenadas y con la hipotenusa irracional del cuadrado de área 4 construimos el cuadrado irracional de área 8 cuyo lado es irracional, midiéndolo medimos en base a su hipotenusa que es racional siendo el doble del lado del cuadrado racional de area 4, es decir la hipotenusa del cuadrado de área 8 es 2+2=4. Etc.

¿Qué sentido tiene hacer un redondeo en el cálculo de las raíces cuadradas irracionales con infinitos decimales cuando se tratan de medir con las referencias métricas racionales? Para utilizar las referencias métricas racionales en el cuadrado irracional habrá que hacerlo sobre su parte racional, es decir, sobre su hipotenusa en vez de sobre su lado, cosa que además es de lógico parece lo natural porque es su hipotenusa y no su lado la que se halla sobre las coordenadas racionales XY.

[Me estoy apartando del tema pero quiero hacer otro inciso para referirme a las raíces cuadradas. Toda raíz cuadrada es simplemente la longitud del lado de un cuadrado. Sin embargo hoy la raíz cuadrada no se enseña así, se le ha despojado de su significado y sentido original y se ha mantenido de forma instrumental lo que de útil tiene para el cálculo. El significado originario se ha sustituido por una serie de reglas algebraicas y aritméticas que se pueden usar para cualquier cosa.

Wikipedia define la raíz cuadrada desde esta perspectiva algebraico aritmética sin hacer referencia al lado ni al cuadrado físicos: «En matemática, la raíz cuadrada de un número x, es el número y que al ser multiplicado por sí mismo — elevarlo al cuadrado — resulta en x nuevamente, por tanto y2=x.1 . Es la radicación de índice 2 o, equivalentemente, la potenciación con exponente 1⁄2.»

Y así se les enseña a las niñas y niños desde el principio, como un tipo de multiplicación. Es por ello, por esta falta de significado y por el automatismo instrumental y operativista, no por la abstracción, por lo que tantas niñas y niños rechazan las matemáticas y se ven incapaces de entenderlas. No hay nada a lo que agarrarse, ni representación visual ni significado, sólo reglas que aplicar operativamente.

En esto las matemáticas modernas, desde el Renacimiento pero sobre todo desde el siglo XIX, tienen mucho de la banal y nefasta puerilidad de los métodos usados por el fascismo en el Siglo XX. La aplicación operativa y automatizada de reglas que no son cuestionadas en sus fundamentos hacen que no se tenga sentido alguno del mal, al contrario, se entiende que se está cumpliendo con el deber que es la aplicación estricta de las reglas, único criterio a considerar para que las cosas funcionen. Es el funcionalismo. ¿Funciona? pues vale. No importa cuánto es la raíz cuadrada de -1, ni por qué ni de dónde surge, ni qué representa, se descubre casi como por azar que sirve para resolver la ecuación que nos ocupa y con eso basta. Es un instrumento matemático algebraico que sirve.

Las raíces cuadradas representan siempre una longitud lineal, los lados de un cuadrado en las coordenadas X e Y. Son un número, pero un número que expresa una longitud lineal en un espacio. Igual que las áreas cuadradas son números que expresan un espacio cuadrado. ¿Todos los números representan cuadrados? El cuadrado es la referencia primaria que tenemos para medir áreas, (incluidas las circulares, aunque aquí haya que usar varios cuadrados o un cuadrado de longitud variable). Los números no son entes abstractos, porque más allá del uno, toda cantidad numérica siempre expresa una distribución, lineal o espacial. Y si hay distribución hay simetría o asimetría y hay espacio. No puede haber números distintos del uno sin espacio, ni siquiera en las ensoñaciones extáticas de las mentes platónicas.

Pero no todos los cuadrados pueden representarse en base a nuestro cuadrado de referencia racional construido sobre el segmento de referencia para medir longitudes lineales, el 1. Hay números que expresan espacios que sólo pueden representarse en términos cuadrados usando un área cuadrada de referencia distinta de la unidad. Esto ocurre porque nuestro cuadrado de referencia 1 está anclado a las coordenadas X e Y. Si giramos las coordenadas hacia Z estamos creando un nuevo plano, el irracional. El uso desplazado (con respecto a Y o X) de este nuevo plano implica una transformación de las referencias métricas porque el efecto es igual que si estuviéramos transformando el espacio por expansión o contracción.

Cuando giramos el plano del cuadrado de 1 manteniendo las coordenadas X e Y, no estamos creando unas nuevas coordenadas Z en el mismo plano, estamos creando un nuevo plano Z que se desplaza con respecto a YX. Este nuevo plano Z es irracional con respecto al plano racional XY, y los segmentos en él son inconmensurables con la referencia métrica del plano racional porque esa referencia se ha transformado. En el plano irracional se tiene una referencia distinta que no es la del lado del cuadrado 1 sino la de su hipotenusa.

Cada vez que giramos las coordenadas 45grados, la hipotenusa del cuadrado no desplazado se convierte en el lado del nuevo cuadrado rotado.

Las matemáticas han tenido y tienen una importancia crucial en el desarrollo tecnológico y científico de nuestra sociedad. ¿Quién controla los desarrollos matemáticos, en nuestras sociedades democráticas basadas en el control ejercido por la división de poderes? La propia «Comunidad» matemática guiada por el operacionalismo instrumental y funcionalista. A día de hoy, la razón no tiene valor aquí, la geometría descriptiva tampoco. La sociedad en general, pobres ignorantes matemáticos que somos, tampoco. ¿Nos contentamos porque tenemos internet y televisión y satélites? A mi lo que me preocupa es lo que no tenemos, principalmente la curación de las enfermedades celulares].

Que los cuadrados de área 2 y 4 que concurren en la circunferencia y el circulo siguen simetrías de referencia diferentes se ve claramente si dividimos el cuadrado de área 1 en cuatro cuadrados de área 0,25, dividimos el cuadrado de área 2 en cuatro cuadrados de área 0,50, dividimos el cuadrado de área 4 en cuatro cuadrados de área 1, señalamos el punto central de cada uno de esos cuadrados y contamos la distancia desde el centro de la circunferencia hasta cada unos de esos puntos siguiendo la diagonal (o una coordenada X o Y, aunque en este caso el orden resultante será inverso). Podemos ver que los cuadrados de 0,25, 1 y 4 siguen el mismo intervalo repetido n veces, mientras que los cuadrados de 0,5 y 2 siguen un intervalo diferente.

Sin embargo, si repetimos esos dos intervalos marcándolos con puntos azul y rojo a lo largo de la diagonal Z, podemos ver que los puntos azul y rojo concurren, convergen, en un momento dado.

Punto cero, en el centro de la circunferencia (cSe parte de la convergencia del puntos azul y rojo)
1 punto azul (intervalo azul 1)
1 punto rojo (intervalo rojo 1)
2 punto azul (intervalo azul 2)
2 punto rojo (intervalo rojo 2)
3 punto azul (intervalo azul 3)
XXXXXX (No hay punto rojo)
4 punto azul (intervalo azul 4)
3 punto rojo (intervalo rojo 3)
5 punto azul (intervalo azul 5)
4 punto rojo (intervalo rojo 4)
6 punto azul (intervalo azul 6)
XXXXXX (No hay punto rojo)
Punto cero (Los puntos azul y rojo convergen al final del 7º intervalo azul y el 6º intervalo rojo).

Pienso que los intervalos comprendidos dentro de las dos filas marcadas con XXXX serían una representación de lo que en términos musicales se conoce como “tritono”, que creo que es una parte de la escala musical que es considera disarmónica. La diagonal parece de hecho la representación de una escala musical.

Haciendo un símil con las paralelas de Euclides a las que me referiré luego, se podría decir que los intervalos racional e irracional son dos paralelas, una racional y otra irracional, que convergen periódicamente. Si hay una convergencia periódica entre racional e irracional significaría que no puede haber infinitos decimales en el área del círculo o en la hipotenusa del cuadrado, porque la convergencia representaría la divisibilidad.

Por otra parte, si se tienen en cuenta las proyecciones en X o Y de esos intervalos surgen otras cuestiones como si los puntos racionales de X o Y (que siguen un orden inverso a los de Z) no estarán formados por la concurrencia de dos puntos irracionales de Z+ y Z-.

A mi modo de ver, los número imaginarios y los complejos surgieron o se descubrieron de forma instrumental, como objetos matemáticos pero sin entenderse su significado geométrico.

Además pienso que cada punto de convergencia periódica, en el centro de cada circunferencia, podría ser un cero complejo o no trivial en la función Z de Riemann, cuando se trata de encontrar la periodicidad en la aparición de los números primos, y que a través de la diagonal se podrían representar los números primos y no primos como áreas cuadradas formadas a partir del desplazamiento del cuadrado de 1 por la diagonal. Cuando se produce la convergencia entre intervalos el área cuadrada que se formaría sería no prima. El lado de esos cuadrados se mediría desde el punto cero de origen hasta el vértice superior derecho del cuadrado de 1 desplazado por la diagonal.

Esos cuadrados se formarían desplazando, proyectando (intervalo a intervalo), la esquina inferior izquierda el cuadrado de uno por la diagonal, y desde la esquina superior derecha del cuadrado desplazado formaríamos los lados del nuevo cuadrado contando hasta las coordenadas del cero de origen, hasta XY.

Admitir que una magnitud aritméticamente correcta como Pi podría no ser correcta si se parte de una premisa conceptual errónea – por ejemplo pensar que el espacio es estático cuando no lo es o que estamos trabajando sobre un único plano cuando hay varios – supondría supeditar la matemática a la filosofía cosa que hoy se considera una verdadera herejía. De hecho ni se contempla tal posibilidad, y cuando se plantea ni se entra a discutir. La aritmética y el álgebra no piensan, tampoco ven; aplican instrumentalmente y operan ciegamente, incluso contra la razón y razonabilidad.

A mi me parece que cuando se traza la diagonal en el cuadrado o se hace rotar el radio para crear el círculo, se está introduciendo un plano nuevo – el irracional – que se desplaza con respecto al plano racional que permanece estático y fijo. Y entonces se está queriendo medir el plano irracional con las referencias del plano racional, y surgen los decimales infinitos porque se están comparando referencias primarias distintas directamente. Pero las referencias basadas en el segmento racional de 1 y las coordenadas racionales X o Y ya no valen para medir todo el espacio porque al dejar anclado Y y crear Z lo que se hace es crear un nuevo plano por desdoblamiento del primero y ese nuevo plano se desplaza rotando desde Y hasta llegar a la posición que llamamos Z . Eso produce una transformación de nuestra unidad métrica primaria.

Las líneas que no están en los 90, 180, 270 o 360 grados, las que no están en X o Y, son irracionales con respecto a X e Y. Entonces el problema de la convergencia o no de las paralelas de Euclides es el problema de la irracionalidad misma. Cada vez que una línea sobre X o Y se desplaza un grado, hemos dejado el plano racional y estamos en el irracional.

Al estar anclado el plano racional relativo a Y y desplazado el plano relativo a Z, el efecto es el mismo que si se expandiera el espacio sobre el que están los dos planos; y luego al desplazar Z hacia X el efecto es el mismo que si se contrajera el espacio; y esto se hace de forma periódica en el círculo sin que nos demos cuenta. Si la cuadratura del círculo no es posible es porque se está intentando medir todo con las referencias cuadradas racionales y estáticas.

Pienso que el área del círculo de radio 1 debería poderse medir desplazando el cuadrado de área 1 por la diagonal siguiendo los intervalos (del mismo tipo de simetría) antes mencionados hasta tocar el círculo con la esquina inferior izquierda de ese cuadrado. Ello supondría 3 cuadrados de 1, un área total de 1+1+1= 3. Nos falta sin embargo contar con el otro tipo de simetría, la del otro intervalo que no hemos tenido en cuenta, y por ello es necesario hacer un desplazamiento más, hasta el punto correspondiente al otro intervalo, que justamente es donde se produce la convergencia entre los dos intervalos que decía antes, al final del 7º intervalo azul y el 6º intervalo rojo.

Esta figura muestra 3 cuadrados de área 1 (uno construido sobre el radio 1, en azul, y dos desplazados por la diagonal, en rojo) y la franja azul final correspondiente al 0,14 de Pi, pero sin decimales infinitos porque hemos llegado a la convergencia en ese punto y con la convergencia hay divisibilidad:

Cabría pensar entonces que las magnitudes irracionales y racionales sólo pueden compararse por proyección, en los puntos de convergencia de los intervalos en las diferentes coordenadas. Este diagrama por ejemplo representaría el teorema de Pitágoras en proyección. El cuadrado central azul es el cuadrado de área 1, y el cuadrado central rojo es el cuadrado de área 2. La convergencia se produce al proyectar los dos tipos de intervalo por las diagonales.

En esta otra figura he representado más claramente los intervalos racionales e irracionales. Los cuadrados de lado irracional (como los cuadrados de área 0,50 y 2) tienen su hipotenusa racional, mientras que los cuadrados de lado racional (como los cuadrados de área 0,25, 1 o 4) tienen su hipotenusa irracional; pero los intervalos que representan las magnitudes racional e irracional convergen periódicamente en un punto.

He unido con curvas los diferentes puntos de los intervalos racional e irracional de las coordenadas Z. Pero también se pueden unir los de las coordenadas X e Y. La figura que resulta es una rosa polar dentro de un círculo.

Si en cada coordenada, X, Y, Z medimos desde el centro de la circunferencia hasta uno de los puntos de un tipo de simetría, por ejemplo la roja, y construimos un cuadrado sobre ese segmento, pienso que se puede ver como una representación geométrica de una ecuación de diferentes grados, con cada 45 grados de desplazamiento se incrementaría en 1 la potencia y ahí construiríamos otro cuadrado sobre esa coordenada tomando como lado el segmento medido desde el centro hasta el punto correspondiente al mismo tipo de intervalo.

Pero en ese caso las dimensiones de las áreas cuadradas no corresponden a la que debería para la secuencia de esa simetría que forma los pétalos rojos.

Parece que para que el valor del área cuadrada sea el correcto en dos casos de la secuencia, sería necesario construir el cuadrado sobre un segmento medido con la otra simetría, desde el centro hasta un punto correspondiente al otro tipo de intervalo, es decir, habría que hacer una transformación local de simetría, pasando de una a otra, y creando una desproporción en los pétalos de la figura, los cambios de simetría aquí habría que hacerlos antes de haber llegado a los puntos de convergencia natural y periódica.

La desproporción se ve claramente en el último pétalo cuyo vértice es azul (en la esquina superior izquierda), que se sale del círculo que engloba a todo la figura. Ese último pétalo es el que corresponde a la quinta potencia (empezando a contar las potencias desde la horizontal derecha X que sería a^1). Su vértice sobrepasa el punto cero en el que concurren las simetrías.

Pienso que esta sería una representación geométrica de la imposibilidad de resolver las ecuaciones de quinto grado con sólo radicales, que fue lo que demostró Galois a principios del Siglo XIX por medio de ecuaciones algebraicas sin tener una visualización de la geometría implicada.

La falta de visualización geométrica estuvo también presente en el descubrimiento de la geometría hiperbólica por el matemático ruso Nicolai Lobachevski también en el siglo XIX. La geometría hiperbólica de Lobachevski es no euclidiana. (El matemático alemán Gauss y el húngaro Bolyai también llegaron al mismo tiempo a la geometría no euclidiana por otros caminos).

La geometría hiperbólica (o «de Lobachevsky) es no euclidiana porque no sigue el quinto postulado de Euclides relativo a la convergencia de líneas no paralelas.

Euclides, varios siglos antes de Cristo, recogió en su obra los «Elementos» todo el conocimiento matemático de la época, y partiendo de unas definiciones y unos axiomas muy simples y evidentes fue exponiendo y demostrando las diferentes proposiciones. Pero el postulado 5º no era tan simple como los demás y desde el principio fue cuestionado por no ser un axioma evidente y hacerse necesaria una demostración.

Algunos autores pensaron que Euclides llegó al convencimiento de que el postulado 5º no podría demostrarse y por ello lo incluyó como un axioma sin demostración. A lo largo de los siglos siguientes, y hasta el Siglo XIX, se hicieron muchos intentos de demostrar la validez o invalidez del quinto postulado; algunos autores trataron de demostrarlo deduciéndolo del resto de axiomas, definiciones y proposiciones, mientras que otros trataron de buscar una formulación más simple que facilitara la demostración. En ese sentido es conocida la formulación de Playfair, según la cual sobre un punto exterior a una recta no puede pasar más de una línea paralela.

La formulación de Euclides no habla de cuántas líneas paralelas pueden pasar por un mismo punto pero se sobreentiende que es una única línea. Según el postulado 5º de Euclides, si dos líneas son cruzadas por una tercera y la suma de los grados internos (del espacio que hay entre esas dos lineas) del mismo lado (el lado derecho o izquierdo de la línea que cruza a las otras dos) es menor de 180 grados, las dos líneas convergerán en un punto.

Se pude pensar a este respecto que si la línea (o línea diagonal) diagonal está desplaza con respecto a una posición anterior que tuviera sobre la coordenada X, esa línea desplazada hasta Z tiene un punto de convergencia primera, aunque sea virtual, con respecto a la posición que antes ocupaba en X; Esa convergencia virtual en el eje de desplazamiento implica que tiene que existir necesariamente un punto de convergencia final con otra recta que esté desplazada hacia X. Ya que se puede formar, trazando una perpendicular en cada eje de desplazamiento, un paralelogramo virtual en base a las coordenadas racionales X e Y, en cuyo interior existirá una simetría de espejo entre izquierda y derecha y una simetría invertida entre arriba y abajo. El ángulo inicial de convergencia del lado inferior izquierdo del paralelogramo tiene que existir invertido como ángulo de convergencia final en el lado superior derecho.

Lobachevski descubrió la existencia de la geometría hipérbolica partiendo de la hipótesis de que pudiera trazarse más de una paralela sobre un punto exterior a una recta, pensando que si no fuera posible encontraría alguna contradicción con los postulados y proposiciones de los elementos, pero fue desarrollando una geometría consistente en sí misma que no se oponía a los Elementos de Euclides excepto en lo que se refiere al postulado 5.

Pero Lobachevski no consiguió representar esa geometría de forma visual; fue después cuando otros autores llegaron a algunos modelos hiperbólicos (de curvatura negativa) como la pseudo esfera (que es como un embudo) o la esfera de Riemann, donde la curvatura es parabólica. Y ha sido a partir de esos modelos y en especial a partir de la geometría de Riemann como se ha desarrollado la geometría no euclidiana. Pero esos desarrollos no euclidianos implican admitir que una línea curva puede considerarse como una recta, y que la equidistancia no es un requisito esencial de las paralelas. A día de hoy, la geometría de Locbachevsk, que él llamó imaginaria, se entiende desde el punto de vista de esos desarrollos posteriores no euclidianos.

Se ha discutido si Lobachevski llamó a su geometría imaginaria porque se daba cuenta de que existía sólo en el plano de los números que Descartes llamó imaginarios, el plano de «i», que para mi es el plano de la simetría irracional del cuadrado 2, o si la consideraba «imaginaria» porque no encontraba forma de representarla descriptivamente, y en ese sentido dejó escrito que aun en el caso de que esa geometría no existiera en la naturaleza, podría existir en nuestra imaginación.

A mi modo de ver, la geometría de Lobachevski existe sólo en el plano de «i»; Y entiendo que se puede representar en términos de la geometría euclidiana a partir de un modelo de seis dimensiones en el que tiene lugar la intersección de dos espacios periódicamente variables con fase igual u opuesta.

Es el modelo atómico y de sistema solar que he venido explicando en este blog. En él, la franja de paralelismo o de convergencia viene dada por la variación periódica de los campos cuyo plano se desplaza de izquierda a derecha, cuando las fases son opuestas el desplazamiento tiene lugar hacia el lado del campo intersectado que se contrae (cuando el otro se expande), o que se desplaza de arriba hacia abajo cuando las fases son iguales y los dos campos intersectados se contraen o se expanden al mismo tiempo.

Las paralelas o no paralelas de Lobachevski en este sentido aparecen como una misma línea que se mueve de forma pendular de izquierda a derecha o de arriba hacia abajo, pasando por un mismo punto que se desplaza en esas direcciones. También es posible inetersectar más campos que varían, con lo que entran en juego más líneas.

La geometría no euclidiana no ha tenido un gran desarrollo y a día de hoy no se ha conseguido representar en su totalidad en términos de la geometría de Euclides, sólo se ha resprentado parcialmente.

Un cariñoso saludo para l@s amig@s de habla hispana que siguen este blog.

Alfonso De Miguel
Madrid