Estimados amigos, lectoras y lectores del blog. Hola de nuevo.
Nada causa más terror en el ser humano que lo asimétrico. Bien debe saberlo el señor Vladimir Putin, quien hace no mucho amenazaba a occidente con una respuesta «asimétrica, rápida y dura» si – promoviendo o llevando a cabo actos de enemistad (entiéndase revoluciones primaverales, intentos de derrocamiento o golpes de Estado) contra Rusia – se cruzaban determinadas líneas rojas.
«Asimétrica» suena todavía más pavoroso en boca de un ex agente del KGB, como es el caso, y aún más si cabe si se pronuncia directamente en ruso y con una serenísima frialdad: «Aсимметричным«.
El inquietante vocablo parece ser moneda de cambio en el ámbito de los servicios secretos y de las tácticas militares y paramilitares del mundo (por otros motivos seguramente llamado civilizado). Así por ejemplo, en el siguiente documento del gobierno de EEUU el adjetivo «asymmetric» se usa hasta en 32 ocasiones. Todo un catálogo de asimetrías bélicas:
https://www.govinfo.gov/content/pkg/CPRT-115SPRT28110/html/CPRT-115SPRT28110.htm
El término «Asimétrico» también está de moda cuando se trata de la criptografía, el cifrado para la protección de datos, asunto también relacionado con la seguridad, la ciberseguridad, y el espionaje. La encriptación «simétrica»se llama así porque utiliza una misma clave para encriptar y desencriptar los datos, mientras que en el cifrado asimétrico se usan dos claves diferentes: https://es.wikipedia.org/wiki/Criptograf%C3%ADa_asim%C3%A9trica
También como algo diferente pero remarcando el sentido de desigualdad, de disparidad, o incluso de deproporción, «asimetría» se usa en el campo de la información y de las inversiones económicas:
https://es.wikipedia.org/wiki/Información_asimétrica
En el terreno culinario la asimetría parece usarse más bien en el sentido de desorden en la presentación de las viandas, desorden como caos de lo que no parece seguir ninguna regla, ningún patrón lógico ni geométrico, de lo que ocupa un lugar inesperada pero de algún modo graciosamente para algunos dispuesto por el mero capricho del azar. En el siguiente vídeo, el chef Jose Fco. Atienza nos muestra la «técnica asimétrica» para emplatar, que consiste esencialmente en que «no llevamos un orden establecido», «tenemos que utilizar un pequeño desorden»:
Asimetría se refiere en gran (o desproporcionada, carente de propocionalidad) medida a lo que se encuentra desparejado, a lo sorprendente e inexplicablemente desigual, a lo que parece que no se ajusta a leyes conocidas más que las de las estadística y el «azar».
Lo desigual produce un primer impacto de extrañeza en una mente lógica. Por qué está esto así, desordenado? Hay algún motivo para que esta aparente desorganización, para este caos?
Lo disimétrico (el prefijo «di» significa opuesto a), lo asimétrico (el prefijo «a» significa carente de), lo desparejado, lo disarmónico, no sólo causa desazón – quién no ha sentido zozobra al tener que lidiar con calcetines desparejados – sino que tradicionalmente se ha rechazado como caótico y feo, como algo que no se ajusta a reglas, con lo que uno no sabe a qué atenerse.
Sin embargo hoy parece que nos hemos acostumbrado a la «normalidad» de la asimetría, e incluso lo asimétrico se percibe como bello, artístico, y hasta más vanguardista que lo simétrico. Por qué lo simétrico habría de ser lo normal y lo asimétrico lo raro, porque lo dispusieron así los griegos en la antigüedad?
Quizás es porque desde siempre se ha venido observando que la simetría existe de forma natural en todos los ámbitos de la naturaleza.
La arquitectura de los árboles se forma bifurcándose hacia derecha e izquierda desde un tronco que asciende en vertical, como si mientras crece hacia arriba (y se enraíza hacia abajo) fuese girando sobre sí y ramificándose con un movimiento pendular hacia un lado y hacia otro. Los ríos se ramifican en afluentes. Las arterias se ramifican en venas y capilares. Los nervios de las hojas siguen el mismo tipo de estructura, igual que los rayos o que las grietas que se abren en una pared o en una calzada. Las neuronas tienen también una arquitectura de ramificación muy parecida.
No hay una simetría perfecta pero se percibe que hay un patrón, que hay un mecanismo que va guiando el desarrollo y desenvolvimiento de los seres. Podemos preguntarnos por qué un árbol tiene unas ramas más largas que otras, o por qué una rama ha tomado una determinada inclinación, y por qué su altura o la arquitectura de su copa es justamente esa y no otra. Y nos lo preguntamos porque pensamos que hay reglas naturales que lo justifican, y nos intriga conocerlas – a veces lo necesitamos imperiosamente para sobrevivir – y vamos y buscamos esas reglas. Entonces estamos haciendo física. O matemáticas. O música.
Si trazamos una diagonal en cuadrado de lado 1 y hacemos lo mismo en en cuadrado de lado 2 (el valor de la diagonal del cuadrado 1), y repetimos la mitad de esos segmentos creando intervalos en las coordenadas espaciales, obtenemos una escala musical. Pero veremos que los intervalos racionales y los irracionales interfieren entre sí creando disarmonía, disimetría. Es lo que se conoce como tritono.
Así vemos que ambos intervalos comienzan en el do central, y evolucionan por la coordenada Z de forma alterna, re(azul) re(rojo), mi(azul) mi(rojo), fa(azul) sol(azul). Aquí sol(azul) es inesperado en esa posición porque naturalmente (por la experiencia de los anteriores) esperaríamos escuchar fa(rojo). El sol(azul) se ha adelantado al fa(rojo), y a partir de entonces el orden azul-rojo cambia a rojo-azul y las parejas se forman con notas asimétricas que no se corresponden unas con otras: fa(rojo) la(azul), sol(rojo) si(azul). Y finalmente, en el séptimo intervalo azul y quinto intervalo rojo, ambos intervalos convergen en un mismo punto: do(azul) y la(rojo).
La intersección de ambos tipos de intervalos la vemos también en la convergencia de las funciones que convergen en do(azul) la(rojo) en los intervalos -7X y -5X.
Hay más cosas que analizar en esta figura sobre la corrrespondencia, la divergencia y la convergencia entre lo racional y lo irracional, pero eso ya lo hemos comentado en otros lugares del blog.
Nicolás Copérnico, reconocido como uno de los padres de la física moderna, cuyo modelo heliocéntrico estableció las bases del modelo de sistema solar que nuestra ciencia, nuestra sociedad y nuestra cultura tienen aceptado como cierto desde hace siglos, ese que hemos visto dibujado y artísticamente representado incontables veces, «creía» en la simetría perfecta del cosmos. Es por eso que las asimetrías que en forma de epiciclos se habían ido añadiendo al sistema geocéntrico a lo largo de más de un milenio para hacerlo coincidir con las observaciones, predicciones, y comprobaciones que se iban logrando, (el sistema geocéntrico predecía eclipses aceptablemente bien) le produjo una profunda extrañeza.
Si les interesa este tema pueden leer el libro de Thomas Kuhn «La revolución copernicana: La astronomía planetaria en el desarrollo del pensamiento occidental».
Si Copérnico no se hubiese extrañado de las asimetrías inexplicadas del sistema geocéntrico tal vez todavía hoy seguiríamos pensando que el sol y los planetas giran alrededor de una tierra que es el centro mismo del universo.
Ya lo he mencionado en anteriores posts, pero lo repito de nuevo porque es muy significativo:
En el prefacio del “De Revolutionibus”, vino Copérnico a decir que el antiguo sistema geocéntrico era como una escultura creada por alguien que toma de lugares diferentes miembros distintos, una cabeza, unas manos, unos pies, y otras partes muy bien descritas cada una por separado, y que al juntarlas resulta que la figura no es el ser humano que quería representar sino un monstruo deforme.
Pueden leer todo el texto de Copérnico traducido al inglés aquí: : http://people.reed.edu/~wieting/mathematics537/DeRevolutionibus.pdf
El párrafo que he parafraseado (en la página 7 del texto inglés) es este:
El párrafo original en latín pueden investigarlo aquí (página 13): https://archive.org/details/nicolaicopernici00cope_1/page/n13
Copérnico no usa el término «asimétrico» para referirse al modelo geométrico de sistema solar, pero si que utiliza el término «monstruo». Y da a entender que el modelo geocéntrico era monstruoso porque estaba desproporcionado, era disarmónico, asimétrico y extraño, porque los miembros de la perfecta y simétrica escultura que para él habría de ser el sistema solar, nada tenían que ver unos con otros (como si pertenecieran a criaturas diferentes entre sí), eran desiguales, estaban desparejados, y no existía lógica relación ni razón ni causa aparente que lo justificase. Y eso le hizo sospechar que ahí faltaba algo o sobraba algo. Y fue entonces cuando buscó en las fuentes clásicas y encontró el viejo y olvidado modelo heliocéntrico que retomó.
El modelo heliocéntrico de Copérnico no solo era mucho más sencillo que el geocéntrico sino que además era perfectamente simétrico: los planetas daban vueltas alrededor del sol describiendo órbitas circulares – el círculo es símbolo de una perfecta simetría – y mantenían velocidades constantes.
Pero después, con la invención de los telescopios se obtuvieron medidas más precisas de las órbitas, y kepler, siguiendo las mediciones de Tycho Brahe, se dio cuenta de que las órbitas planetarias no eran circulares sino elípticas y que las velocidades de orbitación de cada planeta no eran constantes.
Y como antes había sucedido con los epiciclos, (que se fueron añadiendo al modelo geocéntrico original con el paso del tiempo), el modelo heliocéntrico de Copérnico y Galileo se fue rectificando a partir de las nuevas mediciones que cada vez con más precisión se hacían de los movimientos de los cuerpos celestes, resultando que la elicidad de la órbita de cada planeta era diferente, que las inclinaciones de los ejes y planos de orbitación de los planetas eran todos distintos, que las velocidades de su movimiento de traslación alrededor del sol y de su rotación sobre sí mismos eran también diferentes en todos los planetas, y que las velocidades de orbitación se aceleraban y desaceleraban periódicamente. Hasta tal punto la simetría del modelo perfectamente simétrico imaginado por Copérnico quedó destruída, que incluso resultó que había planetas como Urano o Venus rotando sobre sí mismos en dirección opuesta a los demás.
Qué clase de orden y concierto hay ahi? Ninguno.
En este vídeo se representan las diferentes velocidades de rotación sobre sí mismos de los planetas de nuestro sistema solar:
https://www.youtube.com/watch?v=my1euFQHH-o
En el vídeo casi no se aprecia la rotación de Venus porque rota tan despacio en comparación con los demás planetas que en esta representación su movimiento casi no se nota.
No es sorprendente que el eje de Venus está invertido, estando inclinado casi 180 grados, o que el de Urano está también inclinado 90 grados? Son diferencias muy grandes con respecto por ejemplo al eje de rotación de Mercurio que tiene 0,1 grados de inclinación, o sea, prácticamente ninguna.
Esto por qué ocurre? Es normal que cada planeta rote hacia el lado contrario que los demás, y que su órbita esté inclinada según haya dispuesto un desconocido azar que tampoco se sabe lo que es? Es normal que dentro de un mismo sistema, unas órbitas sean más elípticas que otras? Es que la naturaleza es en sí misma asimétrica y desordenada?
Copérnico, hoy, cuestionaría sin duda el sistema heliocéntrico actual que ha resultado ser, en su aparente sencillez, un modelo desordenadamente desproporcionado y disforme. Un sistema asimétrico e irracional. Su falta de simetría se justificó científicamente gracias a los cálculos matemáticos de Newton con su gravedad como fuerza de atracción, (de Newton y su disparatada fuerza de atracción ya hemos hablado mucho en otros posts) pero todavía no se ha explicado lógica, racional ni mecánicamente. El sistema solar está lleno de asimetrías y no sólo no sabemos por qué si no que hemos dejado de preguntárnoslo. Si hay una asimetría deberíamos buscar qué la causa, cuál es el mecanismo que la produce, y preguntarnos si no habrá algo que desconocemos que no solo la explique sino que además muestre una desconocida simetría de conjunto, en un mismo o en diferentes momentos.
Algunos físicos han elucubrado hipótesis tratando de explicar las rotaciones planetarias opuestas, diciendo si no será la causa del giro lento e inverso de Venus que la composición de su núcleo ralentizó su giro hasta llegar a invertirlo. Son hipótesis creadas «ad hoc» para un caso concreto, para explicar una asimetría específica, no se busca un mecanismo que explique de forma causal – con una causa y un efecto – no sólo con una formula calculista, todas las asimetrías del sistema. Estas hipótesis se acogen y se difunden con entusiasmo porque no cuestionan las asimétricas inconsistencias del modelo asumido sino que lo apuntalan de alguna manera.
Pero si este desorden planetario no les parece a ustedes suficiente para sospechar como Copérnico que aquí está faltando alguna explicación, lean el siguiente artículo en el que se menciona el descubrimiento de un sistema planetario en el que es la estrella orbitada la que gira en sentido contrario a sus planetas:
Entonces, piensan ustedes que el universo es un desbarajuste descomunal regido por alguna clase de insospechada suerte? Son ustedes libres de pensar lo que quieran.
Al azar se ha recurrido también en el desarrollo del modelo atómico con la mal llamada «mecánica» (que de mecánica no tiene nada) cuántica. En física atómica, el modelo de átomo se ha construido de forma probabilística, no causalista, por medio de ecuaciones algebraicas que predecían o concordaban con los resultados y mediciones experimentales.
No sé si se le puede llamar «asimétrico» al azar, ya que el aparente desorden se trata de justificar o mitigar con las reglas de la estadística – pero, a parte de eso, hay asimetría en la estructura y el comportamiento del átomo? o lo que hay son simetrías y antisimetrías?
Uno de los hilos conductores en el desarrollo del modelo cuántico ha sido el Principio de Exclusión de Pauli, que está relacionado con la simetría y la antisimetría de las partículas del núcleo atómico. Según él, en un mismo sistema dos partículas no pueden tener en el mismo momento con un mismo estado cuántico.
En torno a él las partículas subatómicas se ha clasificado en dos grupos, fermiones y bosones, dependiendo de si en ellos se encuentra antisimetría o simetría, de si respetan o no el principio de exclusión de Pauli.
Otro de los pasos cruciales en el desarrollo atómico fue el descubrimiento de la antimateria después de que Dirac predijera la existencia del positrón, la antipartícula del electrón. Antimateria implica simetría de espejo en un mismo momento (aunque también podría hablarse de antisimetría contemplando el estado de las partículas en momentos sucesivos).
Vamos a ver con imágenes que es la simetría y la antisimetría:
Estos dos coches, que siendo iguales están apuntando a direcciones opuestas son, simétricos:
Siendo dos coches idénticos podemos diferenciarlos por el emplazamiento que tienen en el espacio atribuyéndoles un signo diferente. Así podemos decir que el coche izquierdo que mira hacia la izquierda tiene signo negativo y el derecho que mira hacia la derecha tiene signo positivo. A este tipo de simetría se le llama simetría de espejo, porque parece como si un coche fuera el reflejo del otro. Si superpusiéramos una imagen sobre la otra, las imágenes de los dos coches no coincidirían perfectamente, no quedarían perfectamente sobrelapados uno con otro, y a este tipo de simetría de espejo se le llama «quiral» para diferenciarla de la que no es quiral (en el ejemplo sería simetría no quiral si el coche de la derecha estuviese también aparcado mirando hacia la izquierda).
Los dos coches siguientes en cambio son antisimétricos; siendo dos coches iguales y apuntando a direcciones opuestas, uno de ellos está invertido respecto al otro.
En el caso de los coches simétricos, el coche de la izquierda y el de la derecha estaban en situaciones opuestas – lo derecho es lo opuesto de lo izquierdo. En el caso de los coches antisimétricos también están en situaciones opuestas, derecha e izquierda, pero además uno de ellos está rotado en posición invertida.
He visto un interesante vídeo de Angel M. Uranga, profesor delo Instituto de Física Teórica del CSIC (El Centro Superior de Investigaciones Científicas de España) y la UAM (Universidad Autónoma de Madrid) en el que explica la diferencia entre los dos tipos de partículas que forman la materia, los bosones y los fermiones, atendiendo a la simetría o su antisimetría de sus funciones de onda.
Normalmente se enuncia la distinción entre fermiones y bosones diciendo que los bosones tienen un espín entero es decir espín 1, y los fermiones tienen espín semi entero, es decir 1/2 espín. Pero el profesor Uranga nos dice aquí que no es necesario usar el concepto de espín para enunciar esta diferencia, y él trata de explicarla por medio de la simetría y la antisimetría de las funciones de onda asociadas a las partículas, concluyendo que existen dos tipo de partículas:
«Las que están descritas por funciones de onda simétricas bajo el intercambio de las partículas, y las que son antisimétricas bajo el intercambio de las partículas».
«A las partículas que están descritas por funciones de onda simétricas bajo el intercambio de sus posiciones se les llama bosones. Y a las partículas que están descritas por funciones de onda que son antisimétricas bajo el intercambio de las posiciones de las partículas se les llama fermiones.»
Lo que viene a decir en estos dos párrafos es que si representamos en un gráfica las funciones que muestran la variación del estado de dos partículas a lo largo del tiempo, si intercambiásemos la posición de las dos partículas, (poniendo a la izquierda la que estaba a la derecha y viceversa) y no hay cambio en ninguna de las dos funciones, eso quiere decir que el estado de ambas partículas es idéntico, es decir, que son partículas que tienen en cada mismo momento un mismo estado cuántico.
Al decir que las funciones son simétricas se refiere a que son idénticas, que tienen simetría de espejo.
Entonces, vemos que al intercambiar la posición de las partículas las gráficas de sus funciones no han variado. Son idénticas con respecto a cómo estaban antes de intercambiar la posicón de las partículas, y ello implica que los estado de esas dos partículas son idénticos en cada mismo momento. En este caso, las partículas y las funciones que representan sus estado, son simétricas. Las partículas tienen simetría de espejo. Y como ambas partículas tienen el mismo estado cuántico en el mismo momento, serán bosones no regidos por el principio de exclusión de Pauli.
Para la explicación da igual si se trata de una única función (un único gráfico) que expresa la variación del estado de las dos partíoculas, o dos funciones que representan la variación del estado de cada partícula, el caso es que no se introduce variación alguna al intercambiar las posiciones.
Pero si la gráfica de las funciones de estado de las partículas cambian con respecto a cómo estaba antes de intercambiar la posición de las partículas, y la gráfica se invierte, mostrando funciones antisimétricas, eso quiere decir que en un mismo momento cada partícula tiene un estado inverso al de la otra, son partículas antisimétricas :
Como las dos partículas, entonces, no tienen el mismo estado cuántico en un mismo momento, estarán siguiendo el principio de Exclusión de Pauli y se tratará de partículas fermiónicas.
Y qué es un estado cuántico? Pues si por ejemplo pensamos que una partícula es un campo que vibra, un estado cuántico será el estado de estar contraído y otro estado cuántico será el de estar expandido, son estados inversos. El hecho de estar contraído determina unas características físicas, por ejemplo, su volumen se reduce, aumentando la densidad del espacio que hay dentro del campo, y el giro orbital que hay en su interior; esas características serán inversas en el caso en que el campo se expanda: su volumen se aumentará, disminuirá la densidad del espacio que hay dentro del campo, y el giro orbital que hay en su interior se desacelerará.
El vídeo no aclara que es un estado cuántico, pero vamos a comentarlo desde el principio:
Uranga nos dice que «El hecho de ser bosón o fermión, en el fondo, no tendría que ver con qué espín tiene la partícula, si no con el problema de identidad que tienen las partículas»
«Imagina que tienes dos amigos, Juan y Luis, los puedes distinguir sólo con verlos… Juan está en una posición X y Luís en Y. Mágicamente los intercambiamos y pasamos a una situación donde Luis está en X y Juan está en Y. La situación total, el estado total del sistema, del par, ha cambiado porque Juan y Luis son distinguibles, así que no es lo mismo tenerlos en una posición que tenerlos en la posición contraria. Es decir, el sistema no tiene una invariancia bajo el intercambio de los dos»
Pero «esto no sucede así con las partículas (subatómicas), que son indistinguibles… cada partícula es exactamente igual a cada otra partícula del mismo tipo. Esta es la indistinguibilidad de las partículas, es decir, la física debería ser invariante bajo el intercambio de 2 partículas del mismo tipo; si intercambiamos dos partículas del mismo tipo toda la física debería ser invariante, debería quedar igual».
Bueno, esto pasaría también con cualquier otra pareja de cosas idénticas, aunque no fuera a nivel atómico, que tuvieran una simetría de espejo no quiral, como ocurre por ejemplo con los coches izquierdo y derecho de las dos fotos que pongo más abajo. Son coches idénticos y fotos idénticas. Si recortamos los coches derecho e izquierdo, e intercambiamos su posición pegándolos en las fotos izquierda y derecha, como los coches son indistinguibles, ambas fotografías seguirían siendo iguales, no se introducen variaciones en las fotos ni en los coches por intercambiar los lugares de los dos coches:
De manera que, en principio, no podemos distinguirlos, y su cambio no afecta a su entorno, aunque cambiemos sus posiciones. Pero eso no ocurriría si el coche de la derecha, siendo simétrico con el derecho, estuviera invertido, es decir, fuera antisimétrico.
El caso de Juan y Luis, como el de los coches, se entiende perfectamente. Y pienso que también se entiende, en el contexto de la invariabilidad o la variabilidad de la física, el enunciado sobre las ondas simétricas y antisimétricas:
Así, entiendo que si las funciones de onda resultan antisimétricas al intercambiar la posición de las partículas, eso quiere decir que la física de lo que ocurre en el lado derecho es inversa a la física de lo que ocurre en el lado izquierdo (y viceversa), es decir, que la partícula derecha e izquierda son partículas de distinto tipo, tienen distintos estados y propiedades, y por lo tanto son distinguibles. En cambio si con el intercambio de partículas sus funciones de onda se mantienen simétricas, eso quiere decir que la física del lado izquierdo y la del derecho no varía al intercambiar la posición de las partículas izquierda y derecha, y por tanto se trata de partículas idénticas e indistinguibles.
El concepto de función de onda lo presenta a continuación, relacionándolo con la noción de estado de la partícula:
«Cuando hablamos del estado de una partícula, de lo que hablamos es de la función de onda de esa partícula. La función de onda nos da una medida de la probabilidad de que una partícula se encuentre en un estado o en otro. Por ejemplo, si tomamos un sistema de una sóla partícula, la función de onda tomada en un punto X nos dice, si tomas un módulo al cuadrado, con qué probabilidad encontraré esa partícula en el punto X.«
De manera que la función de onda (o función del estado) de una partícula nos dice la probabilidad de que esa partícula se encuentre en un determinado estado u otro. (Se habla de probabilidad porque la mecánica cuántica es una aproximación estadística a las posiciones y estados de las partículas).
No nos dice sin embargo qué es un estado de la partícula, (si por ejemplo es el estado de estar en reposo o en movimiento, acelerada o desacelerada, moviéndose hacia arriba o desplazándose hacia abajo, o encontrarse en un punto u otro del espacio), pero eso no nos impide continuar.
Así que si en la gráfica de una función de onda de la partícula (gráfica que describirá la «probable» variación de los estados de esa partícula) nos fijamos en un punto de la curva de esa función, por ejemplo el punto X, podemos saber – haciendo un cálculo matemático – la probabilidad que hay de que la partícula se encuentre en el estado indicado por ese punto X de la gráfica.
Así es como interpreto yo lo que dice en el párrafo anterior. Pero, por lo que dice a continuación me da la impresión de que a veces usa indistintamente los conceptos de estado cuántico de la partícula (representado en un momento dado por un punto X en la gráfica de función), y posición de la partícula en el espacio físico del sistema en que se encuentra.
«Si estamos pensando en un sistema con 2 partículas diferentes, lo que tendremos será una función de onda que dependerá de las posiciones o de los estados YX de esas 2 partículas, y esa será la función de onda del par de partículas.»
Aquí entiendo que no se refiere a partículas diferentes, sino a dos partículas situadas en posiciones diferentes, cuya función de onda, que es la representación de las variaciones de los estados de las dos partículas, depende de los estados que tengan a lo largo del tiempo.
Pienso que no hay que confundir posición en un espacio físico con estado de la partícula; obviamente la partícula existirá en un espacio (o será el espacio mismo en un modelo de campos) y a través de un tiempo, y los cambios en ese espacio alterarán la partícula, pero creo que tampoco se refiere a eso. A continuación dice:
«He hablado de posiciones pero podéis repetir el mismo ejercicio pensando estados de partículas, cualquier tipo de estado, por ejemplo orbitales dentro de un átomo, espines o cualquier cosa del mismo tipo.»
Pero sigamos aún con la explicación:
«Así que lo que estamos diciendo al hablar de la indistinguibilidad de las partículas es que la probabilidad de que una partícula primera se encuentre en la posición X, y otra segunda partícula se encuentre en la posición Y tiene que ser exactamente la misma (probabilidad) que (tiene el hecho de) que la primera partícula se encuentre en la posición Y y la segunda partícula se encuentre en X».
Es decir, como se manejan en términos de cálculo de probabilidades, para que las funciones de onda sean simétricas al intercambiar las partículas, como para ellos esas funciones representan la probabilidad de que la partícula esté en un estado, será necesario que las probabilidades en ambas partículas sean idénticas. Así, la probabilidad de que una partícula tenga un estado «X» y otra partícula tenga un estado «Y», si las partículas fueran indistinguibles, (si fueran simétricas con simetría de espejo en un mismo momento), debería ser igual a la probabilidad de que la primera partícula se encuentre en el estado Y y la segunda el estado X.
Las probabilidades son simétricas porque necesariamente las partículas son simétricas, sus estados son simétricos en el mismo momento, y la simetría se mantiene a lo largo del tiempo durante la variación de los estados de ambas partículas, que cambiarán a la vez de forma igual a cada momento.
«La probabilidad es el módulo al cuadrado de la función de onda, tenemos que elevar al cuadrado cierta cantidad. Si las probabilidades, es decir, el cuadrado de la función de onda, en las posiciones X e Y para las partículas es igual que cuando las posiciones son invertidas, no quiere decir necesariamente que las propias funciones de onda sean iguales, porque al elevar al cuadrado en una ecuación de segundo grado siempre hay dos soluciones que difieren en un signo».
Aquí ha dicho «que cuando las posiciones son invertidas» pero creo que en vez de «invertidas» ha querido decir «intercambiadas, lo que no implica necesariamente que estén invertidas, como vimos en el caso de los coches.
Explicaré más adelante cómo entiendo yo el problema de la elevación al cuadrado y su efecto en relación a la simetría y la asimetría de la función.
A continuación el profesor muestra como conclusiones que caben dos posibilidades:
Que la propia función de onda que describe el sistema sea también invariante bajo el intercambio de las posiciones X e Y de las partículas; esto corresponde a que la función de onda sea simétrica bajo el intercambio de las dos posiciones X e Y.
Que cuando intercambiamos las posiciones de las partículas X e Y la función de onda no queda exactamente invariante sino que cambia un signo, pesca un signo extra, pero que al elevarlo al cuadrado, para calcular las probabilidad, ese signo se pierde y la probabilidad sí queda invariante pero la función de onda no lo es, la función de onda sería antisimétrica bajo el intercambio de X e Y; pesca un signo cuando intercambio dos partículas.»
Aquí ha incidido en lo mismo.
Cuando intercambiamos los lugares que ocupan dos partículas, una de las cuales está a la derecha de un eje central y otra a la izquierda, puede ocurrir que los estados de cada partícula sigan siendo el mismo que tenían antes de intercambiar sus posiciones, con lo que la función de onda (que indica los estados de cada partícula) no varía y será simétrica y a esas partículas se la considerará bosones; o también puede ocurrir que al intercambiar sus posiciones sus estados se inviertan cambiando de signo, con lo que la función de onda variará deviniendo antisimétrica y las partículas se considerarán fermiones.
El profesor Uranga intenta más adelante aclarar su explicación usando el concepto de campos en lugar de funciones de onda, y lo hace a través de la conmutatividad o no conmutatividad aritmética de los campos:
«Todo lo que os he contado hasta ahora en el contexto de mecánica cuántica se puede generalizar a teoría cuántica de campos. El punto es que en Teoría cuántica de campos el concepto de número de partículas no está bien definido porque hay procesos en los que se crean y se destruyen partículas. Sin embargo s;i que hay una generalización del concepto de función de onda que es el propio campo«.
«Cada tipo de partícula tiene asociado un campo cuántico. Se puede distinguir entre campos asociados a partículas bosónicas y campos asociados a partículas fermiónicas. Lo que lo distingue es que si tomas por ejemplo para los bosones el valor del campo en un punto X y en un punto Y y los multiplicas, da igual en qué orden los multipliques el resultado es el mismo, es invariante bajo el intercambio de las partículas; se dice que los campos conmutan, satisfacen la propiedad conmutativa».
«En cambio para los campos que están asociados a partículas fermiónicas lo que ocurre es que si tomas el campo en dos puntos distintos, cuando los multiplicas el resultado cambia si inviertes el orden, el producto es antisimétrico bajo el intercambio de las dos partículas; se dice que los campos anticonmutan, no satisfacen exactamente la propiedad conmutativa sino que pescan un signo cuando cambiamos su orden».
La explicación que nos da de antisimetría como no conmutatividad es una explicación matemática.
Pero podemos pensar también en términos de diagramas si consideramos que la partícula no solo está asociada a un campo si no que también es en sí misma un campo. Y como los estados de la partícula varían, se tratará de un campo que varía, por ejemplo un campo que vibra.
Por ejemplo, si en un sistema de dos campos idénticos que vibran, el campo izquierdo se contrae mientras que el derecho se expande, el estado de estar contraído o expandido de los campos en ese momento será antisimétrico.
Un momento después, cuando el campo izquierdo se expanda y el derecho se contriga, los estados de ambos campos seguirán siendo antisimétricos.
Completando una vibración, al contraerse de nuevo en un tercer momento el campo izquierdo y expandirse el derecho, las funciones de onda que describen los estados de los campos a lo largo del tiempo serán simétricas, el sistema permanece invariante, aunque sus estados representados en las funciones sean antisimétricos.
Este completar una vibración de los campos equivaldría a lo que llaman «tomar el módulo al cuadrado».
El Principio de Exclusión de Pauli, nos dice que tratándose de dos fermiones, sus estados cuánticos no pueden ser iguales al mismo tiempo. Los campos contraído y expandido del diagrama anterior serían pués fermiónicos.
El profesor explica el principio de exclusión de Pauli por medio de una demostración algebraica:
El principio de exclusión de Pauli nos dice que dos partículas fermiónicas no pueden encontrarse exactamente en el mismo estado. Es imposible».
«Vamos a intentar construir un estado de dos fermiones exactamente en el mismo estado; vamos a tomar la función de onda de 2 partículas que son 2 fermiones en la misma posición X. Básicamente, si tenemos su función de onda donde la primera partícula está en X y la segunda partícula está (también) en X, y ahora invertimos sus posiciones, deberíamos obtener la misma función de onda con la segunda partícula en X y la primera en X, con un signo (opuesto) porque son fermiones. Es decir, la función de onda tomada en XX debería ser igual a menos (-) la función de onda tomada en XX, que es la misma cosa. y el único número que es igual a su opuesto es cero. Es decir, la función de onda en XX es cero, es decir, la probabilidad, si tomo el módulo al cuadrado, de que encuentre las 2 partículas en la misma posición es cero, es imposible absolutamente imposible.»
«He hablado de posiciones pero podéis repetir el mismo ejercicio pensando estados de partículas, cualquier tipo de estado, por ejemplo orbitales dentro de un átomo, espines o cualquier cosa del mismo tipo. Si intentas poner dos fermiones en el mismo estado, la antisimetría de la función de onda me obliga a que la probabilidad de esa configuración sea cero, es imposible. En cambio no hay ningún problema en que dos bosones se encuentren en el mismo estado, es más les gusta mucho hacerlo.»
Pero el principio de exclusión se puede entender claramente sin álgebra usando diagramas de campos. No tiene nada de misterioso, es una consecuencia de la simetría o asimetría de las variaciones de los campos.
Pero es difícil de explicar el átomo prescindiendo de las ecuaciones algebraicas porque el modelo atómico no se ha construido con una referencia visual, se ha construido de forma abstracta en base a ecuaciones y herramientas matemáticas abstractas.
No es ya que en «Teoría cuántica de campos el concepto de número de partículas no está bien definido porque hay procesos en los que se crean y se destruyen partículas», como dice el profesor, si no que es que no. se sabe a qué topología responde el átomo, cuál es su geometría, su representación, una que podamos ver y dibujar.
El átomo para los físicos es hoy una nube difusa e incierta donde azarosamente ocurren cosas extrañas a las que se tiene acceso indirecto por medio de cálculos de probabilidad. Porque aunque se usen ¨campos¨, son campos algebraicos, abstractos, y no se conoce un mecanismo de una causa y efecto que se pueda comprender sino que se opera con cálculos estadísticos de probabilidades. Por muchos esfuerzos que haga el físico profesional tratando de explicar al público curioso la física atómica, más antes que después termina hablando de ecuaciones que nadie sabe qué representan materialmente.
Pienso que esto ha sido así por las limitaciones que el modelo atómico tiene desde su origen, ya que el átomo se trató de representar bajo la idea tan arraigada en el inconsciente de la colectividad occidental del campo único, estático e invariante en torno a cuyo centro orbita todo lo demás. Como un sistema solar copernicano en ministura. Después, cuando se vio que el átomo «heliocéntrico» sólo funcionaba para el átomo de hidrógeno, se prescindió de toda referencia visual para avanzar a través del juego numérico y la intuición abstracta y la operatividad instrumental del álgebra. Cuando un físico habla de algo simétrico o antisimétrico sólo está pensando en signos iguales u opuestos a ambos lados de una ecuación.
A mi modo de ver, el viejo paradigma del campo único e invariante debe dar paso a un nuevo modelo de campos vibrantes intersectados en cuya intersección existen otros subcampos formando un núcleo compartido por el sistema dual. El sistema dual, el más elemental para que exista electromagnetismo, rotaría además sobre sí mismo.
Al hablar de campos que vibran me refiero a ondas longitudinales.
Es el modelo de átomo compuesto que vengo explicando en este blog y que repetiré aquí una vez más, porque pienso que independientemente de que se considere demasiado inortodoxo puede servir para aclarar el vídeo de los fermiones y bosones a las personas que no saben álgebra. Sin tener yo este modelo internalizado no habría sido capaz de entender el vídeo del profesor Uranga.
De esta manera se podría pensar en el átomo como un sistema compuesto de campos intersectados que varían con fases iguales u opuestas.
Con fases de variación opuesta, (en la figura 1), el campo azul que se contrae es antisimétrico respecto al campo rojo que se expande en el mismo momento 1, y también es antisimétrico con respecto a sí mismo en el momento 2, cuando se encuentra expandido y coloreado en rojo. No es que en el momento 2 hayamos intercambiado la posición de los campos azules y rojos (que podría ser, si los hiciéramos rotar 180 grados entorno a un eje central) sino que los campos, al vibrar, han variado su estado de estar contraído o expandido por el estado inverso de estar expandido o contraído y por ello hemos cambiado su color para representar uno u otro estado.
(Son campos que vibran periódicamente, de modo que si dibujásemos un momento 3, el campo izquierdo rojo expandido y el derecho azul contraído en el momento 2, volverán a transformarse en un campo izquierdo azul contraído y uno derecho rojo expandido, respectivamente.)
Con fases de variación iguales, (en la figura B), los campos derecho e izquierdo están contraídos en el mismo momento 1, y son simétricos el uno del otro. Y cuando ambos se expandan en el momento 2, seguirán siendo simétricos entre sí; pero en este momento 2 ambos serán además antisimétricos con respecto a sí mismos, al estado contraído que tenían en el momento 1 (y antisimétricos con respecto al estado que tenía su par opuesto en el momento 1).
(En un momento 3, completando una pulsación, volverán ambos a contraerse recuperando su simetría, aunque siendo antisimétricos con respecto al estado que tenían en el momento 2.)
En la intersección de los dos campos vemos que existen subcampos, unos transversales, en el eje orizontal, y otros ortogonales, en el eje vertical.
Las simetrías y antisimetrías del estado de esos subcampos entre sí (del estado de estar contraídos o expandidos) y con respecto al estado de los campos intersectados que los generan y en los que se hallan, van a ser diferentes dependiendo de si las fases de variación de los dos campos intersectados son opuestas o iguales.
Y esos estados cuánticos (son cuánticos porque sus estados los efectos que producen tienen lugar de forma «discreta», por pulsaciones, al vibrar) de expandirse y contraerse de los dos campos intersectados, son los que determinan el estado cuántico de expandirse y/o contraerse de los subcampos, determinando pués las propiedades materiales o físicas de esos subcampos que constituyen el núcleo del sistema, su volumen, su densidad, la cantidad de energía cinética, acelerada o desacelerada de su giro interno, su desplazamiento hacia la derecha o la izquierda o ascendente y descendente, y las fuerzas de presión que producen al desplazarse y los efectos a que ellas dan origen.
El uso de campos transversales, como son dos de los subcampos del modelo, ya había sido propuesto en los espacios o variedades de espacios (o manifolds) de Kaluza-Klein y Calabi-Yau:
Y también aparecen en las superficies de Kumer: https://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_de_Kummer
Siguiendo con la exposición del modelo de campos intersectados, vamos a identificar ahora los subcasmpos del núcleo.
El siguiente diagrama representa el momento 1 (figura izquierda) y el momento posterior 2 (figura derecha) de dos campos intersectados vibrando con fases opuestas y sus subcampos. (Aunque no está representado, el sistema compuesto giraría circularmente entorno a su eje central):
Cuando en el momento 1 el subcampo amarillo se desplaza hacia la izquierda (porque el campo intersectado izquierdo se contrae y el derecho se expande) actúa como electrón. En ese momento a la derecha no existe un anti subcampo del electron, su antimateria, el llamado positrón. Sin embargo se puede decir que en ese momento 1 el positrón existe en el lado derecho del sistema de forma «virtual» (no existe en ese momento pero potencialmente existirá un momento más tarde); después, en el momento 2, cuando el subcampo amarillo se desplace hacia la derecha el subcampo negativo electrón cambiará de signo y actuará como positrón con signo +.
(El concepto de partícula virtual lo utilizan los físicos para cuadrar la consistencia de signos de sus ecuaciones, por eso he querido explicarlo aquí).
Positrón y electrón serán antipartículas Majorana. Una antipartícula Majorana, propuestas por el físico Ettore Majorana antes de su misteriosa desaparición, son aquellas que son su propia antimateria. Aquí son su propia antimateria por que ambas son el mismo subcampo que se deplaza de forma pendular de izquierd a derecha, tomando signo negativo al desplazarse hacia la izquierda y positivo al hacerlo hacia la derecha.
La «carga» eléctrica del electrón o del positrón será la fuerza de presión o empuje producida por el subcampo al desplazarse hacia el campo que se contrae por efecto de la contracción y expansión de los campos intersectados que lo conforman. El giro orbital interno podría entenderse como su carga magnética. En cualquier caso, como la gravedad, el electromagnetismo no es una misteriosa fuerza de atracción, es una consecuencia de la variación de la geometría de los espacios.
Al movimiento pendular de la partícula se refirió también Majorana.
Entones, electrón y positrón están regidos por el principio de exclusión de Pauli (PEP) porque el mismo subcampo no puede existir a la vez como electrón y como positrón a la derecha i a la izquierda del sistema.
(En el caso del electrón podría pensarse que su estado cuántico es el desplazamiento mismo hacia una lado u otro, el estado de desplazarse, pero pienso más bien sería la dirección de giro de su orbitación interna, y el signo negativo o positivo (por el lugar izquierdo o derecho en que se produce) de la fuerza de presión que ejerce con su cara externa al desplazarse.)
Pienso que el PEP habría que entenderlo en términos de simetría de espejo. Y que también es por la simetría de espejo como habría de entenderse la llamada «superposición» de estados.
El Gato de Schrodinger no es un gato que está vivo y muerto al mismo tiempo sino que son dos gatos idénticos que se despiertan y se duermen en momentos diferentes: cuando el gato izquierdo está despierto el derecho, su reflejo inverso, está dormido; y cuando el gato izquierdo se duerme el derecho se despierta. Son gatos fermiónicos regisod spor el principio de exclusión de Pauli.
(Si los dos gatos estubvuieran dormidos o despiertos a la vez, entonces se hablaría de entrelazamiento de sus estados cuánticos, cosa que sólo puede tener lugar en los bosones no regidos por el principio de exclusión de Pauli).
El subcampo azul izquierdo contraído actuará como neutrón al mismo tiempo que el subcampo expandido derecho actuará como anti neutrino. Un momento después, el subcampo azul izquierdo se expandirá (tomando color rojo en el diagrama) deviniendo en un neutrino, mientras que el subcampo rojo derecho se contraerá (tomando color azul) convirtiéndose en protón.
Protón y neutrón serían pues antipartículas simétricas, como pensó Heisenberg, aunque en momentos diferentes. (Actualmente se considera probado que el portón tiene una masa diferente del neutrón, pero uno de los problemas aún no resueltos del modelo estandar es que no se sabe explicar con él el decaimiento del protón).
Por su parte, neutrino y antineutrino serían también antipartículas simétricas pareo en momentos diferentes.
Protón y neutrón (lo mismo que neutrino con su par antineutrino) se regirán por el PEP.
en este mismo contexto, el neutrón tendrá un estado cuántico contraído que es antisimétrico con respecto al estado de su par derecho que en ese momento actúa como antineutrino expandido. Y lo mismo puede decirse con respecto al estado del neutrino expandido izquierdo y su par antisimétrico derecho, el protón contraído.
Entonces, tratándose de fermiones, las simetrías y asimetrías serían estas:
Neutrón y antineutrino: antisimétricos en el mismo momento
Neutrino y protón: antisimétricos en el mismo momento
Neutrón y protón: simétricos en momentos sucesivos
Neutrino y antineutrino: simétricos en momentos sucesivos
Electrón y positrón: simétricos en momentos sucesivos.
Con fases de vibración antisimétricas u opuestas de los campos intersectados, los subcampos transversales vibran de forma antisimétrica entre sí pero de forma simétrica con respecto al campo intersectado en el que se encuentren (Por ejemplo, el subcampo izquierdo neutron se contrae al mismo tiempo que el campo intersectado izquierdo se contrae).
Los siguientes diagramas representan dos campos intersectados vibrando con fases iguales y sus subcampos:
Cuando las fases de vibración de los campos intersectados se sincronizan haciéndose iguales, las propiedades materiales (densidad, volumen, giro interno, presión de desplazamiento) del sistema de subpartículas cambia. Y los subcampos que antes eran fermiones se convierten en bosones.
En este caso el subcampo que antes actuaba como electrón o positrón desplazándose de izquierda a derecha, se va a desplazar ahora hacia arriba y hacia abajo.
Cuando se desplaza hacia arriba (cuando los dos campos intersectados se contraen al mismo tiempo), producirá una fuerza ascendente que dará lugar a un fotón (con un doble giro opuesto interno en forma de doble hélice); un momento después (cuando los dos campos intersectados se expanden a la vez) el subcampo ascendente contraído comenzará a expandirse y a descender, dando lugar a una pérdida de la fuerza de empuje ascendente y a una ralentización de su energía interna orbital interna en lo que sería un «decaimiento». La masa del campo (en términos de campo contraído) y la energía que se pierden ahora en el lado cóncavo del sistema dual aparecen sin embargo en el lado convexo de la intersección dando lugar a lo que sería un antifotón.
Si como observadores estamos midiendo el sistema desde el lado cóncavo, el subcampo invertido que genera el antifotón, su energía y la fuerza de presión que genera el antifotón serán «oscuras» para nosotros.
Volviendo al sector cóncavo, a los lados izquierdo y derecho del centro de simetría tendremos dos subcampos transversales cuyo estado de contraído o expandido será idéntico en el mismo momento; entre ellos hay a la vez una simetría de espejo, y por tanto no estarán regidos por el principio de exclusión de Pauli.
Pienso que es a esta simetría a la que están llamando sin saberlo entrelazamiento.
El fotón, considerándose un bosón por tener un espín entero, sí que estaría regido por el principio de exclusión de Pauli porque no puede existir al mismo tiempo que su par antisimétrico, el antifotón oscuro.
(De forma similar, en el caso del electrón/positrón, aun teniendo 1/2 espín y considerarse fermiones, el principio de exclusión de Pauli no regiría con respecto a su par inverso oscuro, que es el campo antisimétrico que se halla en el lado convexo del sistema. Aunque la forma de estos campos oscuros en el lado convexo no parece idéntica a su respectivo par en el lado convexo, si que lo serían, aunque inversas, las fuerzas de presión a que dan lugar.)
Siendo simétrica la fase de vibración de los campos transversales bosónicos, sin embargo su fase de vibración es antisimétrica con respecto a la de los campos intersectados que los crean. Cuando ambos campos intersectados están expandidos, ambos subcampos transversales estarán contraídos y viceversa.
Si las fases de variación de los campos intersectados se desincronizan nuevamente, los subcampos que antes actuaban como bosones comenzarán a actuar de nuevo como fermiones. Pienso que se podría decir que habría dos dimensiones temporales fermiónicas que confluyen en una única dimensión temporal bosónica que volverá a diverger en dos dimensiones fermiónicas y así sucesivamente, según que las fases de variación de los campos intersectados se sincronicen y desincronicen periódicamente.
De esta manera, bosones y fermiones estárían ligados por una simetría que se desenvuelve a través de estos tiempos convergentes y divergentes. Para explicar esta «supersimetría» pienso no hacen falta nuevas subpartículas que hagan de enlace entre fermiones y bosones. Es la variación de las fuerzas de presión de los campos intersectados al contraerse y expandirse y al sincronizarse y desincronizarse la que llevaría a cabo esta labor.
(Uno de los actuales quebraderos de cabeza de los físicos es el de encontrar partículas supersimétricas predichas por la teoría de cuerdas. En esta labor se han invertido miles de millones para construir los gigantescos aceleradores de energía. Y tal vez el mayor disgusto de mucho es que después de varios aceleradores aún no se han encontrado esas partículas. Pero algunos no piensan desistir en el empeño y ya están construyendo otros aceleradores aún mayores creyendo que terminarán apareciendo a mayores energía. Y si no aparecen no pasará nada porque volverán a construir otros mayores aún. Y así mientras que se les permita, que los aceleradores dan de comer a muchos.)
Representando esas fuerzas de presión como vectores pienso que se ve más claramente, que es la rotación de los vectores la que mantiene la simetría de este sistema topológico:
Pienso que lo que los físicos llaman «quarks» en cromodínamica cuántica se correspondería con estas fuerzas de presión causadas por el empuje o arrastre de los campos intersectados al contraerse o expandirse. Representado los «quarks» como vectores, la supersimetría, la simetría que tiene lugar a través del tiempo, se lograría a través de la rotación de los quarks. Un mismo campo será simétrico o antisimétrico con su par y tendrá un estado cuántico u otro dependiendo de cuál sea el estado de rotación de sus quarks.
Tal vez, así considerado, pueda comprenderse el problema del gap de masa relacionándolo con la materia oscura y la supersimetría o superantisimetría de los quarks.
Cuando un vector quark rota y la presión que representa se ejerce desde el lado externo del campo intersectado que se expande, ejerciendo esa fuerza de empuje no actuará para crear masa (contraer el volumen e incrementar la densidad) de ninguna partícula del núcleo situado en el lado cóncavo del sistema.
El quark que ejerce su fuerza de presión desde el lado convexo del sistema y que es indetectable desde el lado cóncavo será un quark oscuro.
Cuando los dos campos intersectados se contraen al mismo tiempo, en el caso de los bosones, todos los quarks actúan orientados hacia el lado cóncavo del sistema y no hay ninguna pérdida de masa. Pero cuando, después, ambos campos intersectados se expanden se produce la pérdida u oscurecimiento de cuatro quarks durante la fase de decaimiento, creando dos de estos quarks oscuros un fotón invertido en el lado convexo, un antifotón oscuro (oscuro por indetectado desde el lado cóncavo).
Cuando las fases de variación de los campos intersectados se desincronizan deviniendo opuestas, no va a haber ningún caso en que no haya ningún quark oscuro (como sí ocurría en los bosones con ambos campos intersectados contraídos), ni tampoco en ningún caso habrá cuatro quarks oscuros; en este caso habrá siempre dos quarks oscuros.
Esta diferencia implica una asimetría en el «desvanecimiento» u «oscurecimiento» de los quarks cuando comparamos fermiones y bosones:
Momento 1: habrá 2 quarks fermiónicos oscuros frente a 0 quarks bosónicos oscuros
Momento 2: habrá 2 quarks fermiónicos oscuros frente a 4 quarks bosónicos oscuros.
Hay, pues, una desproporción.
Aunque contabilizando ambos momentos, haciendo aquello de «tomar el módulo al cuadrado», las cantidades se equilibran y los sistemas y la masa y energía total de ambos se hacen simétricas. El valor de los dos lados de la ecuación sería el mismo:
Momento 1 y momento 2:
2 +2 quarks fermiónicos oscuros frente a 0+4 quarks bosónicos oscuros.
El gap de masa tendría lugar sólo de forma temporal.
El vídeo de hoy no nos dice qué es el espín de las partículas, por no ser necesario para distinguir entre fermiones y bosones. Pero pienso que el espín está igualmente vinculado a la simetría y antisimetría de los campos.
El espín es el giro de la partícula. En los fermiones esté giro no es completo porque el sistema es antisimétrico en cada lado, de manera que para lograr un giro completo tendríamos que unir (+1/2) + (-1/2). Mientras que en los bosones el estado es el mismo en ambos lados del centro de simetría, con lo que tendríamos que unir (+1/2) + (1/2)
El coche simétrico de la derecha es un coche bosónico porque cuando lo formamos con medio coche negativo y medio coche positivo obtenemos un coche entero simétrico.
Pero habría que representarlo mejor en términos de diagramas de campos, y eso aún tengo que elaborarlo.
Antes de terminar quería mencionar que este modelo subsume el modelo de la onda piloto de David Bohm y el de los múltiples mundo de Hugh Everett, que son las dos principales interpretaciones de la mecánica cuántica que se han propuesto frente al modelo estándar.
Estos campos intersectados son ondas longitudinales que vibran, pilotando o conduciendo con su vibrar a las subpartículas del núcleo; ya hemos visto cómo cuando, en el caso de los fermiones, el campo intersectado izquierdo se contrae y el campo derecho se expande, el subcampo electrón es dirigido hacia el campo intersectado que se contrae, dirigido por la variación de ambos cambos intersectados que lo constituyen; lo mismo, en el caso de los bosones, cuando el subcampo que genera el fotón asciende o desciende.
Entonces el modelo de campos intersectados puede entenderse como un modelo de ondas piloto intersectadas o parcialmente fusionadas que interactúan entre sí.
En este modelo hay múltiples «mundos» o «universos» pero no son paralelos sino que están intersectados, y su intersección da lugar a nuevos submundos paralelos que guardan entre sí una simetría o antisimetría de espejo.
En otros posts he mencionado cómo los subcampos transversales tienen dimensiones espaciales distintas que las de los campos intersectados. Los campos intersectados tienen las 3 dimensiones espaciales que conocemos y representamos en un eje de coordenadas como alto ancho y profundo, pero estas coordenadas no sirven para referenciar a los subcampos transversales porque, al estar giradas las coordenadas de estos con respecto a las de los campos intersectados, lo que para un campo intersectado en una coordenada Z para uno de los subcampos puede ser una coordenada Y.
El giro de las coordenadas causa la misma disfunción métrica que aparece con la irracionalidad cuando en un cuadrado de lado uno, tratamos de medir la diagonal que trazamos en su interior.
Por otra parte, quería mencionar también que las interpretaciones estándar, la de la onda piloto o la de los universos paralelos son todas probabilistas; en el fondo todas están basadas en un campo único, incluso la teoría de los universos múltiples serían campos único porque estarían separados.
Un apunte más. Pienso que una forma dual o compuesta de representar el átomo permite entender qué son las interacciones fuerte y débil o que son los llamados enlaces químicos: una interacción o enlace fuerte se producirá en el subcampo que se contrae, recibiendo una doble fuerza de presión, por ejemplo en el protón, en el neutrón, o en el subcampo que genera el fotón; mientras que una interacción débil se producirá en los casos en que un subcampo se expande experimentando una doble fuerza de descompresión como en el decaimiento del neutrón (el neutrino), en el decaimiento del protón (el antineutrino) o en el decaimiento del fotón (el decaimiento B?).
Por otra parte, antes de terminar quería mencionar también que la simetría y la antisimetría ha sido usada de forma algebraica en el problema de la resolución de polinomios de grado 5 o superior desde Galois. Sobre este tema he especulado hablado también en anteriores posts.
Desde Everiste Galois se considera demostrado que las ecuaciones de quinto y superior grado no pueden resolverse con radicales (operaciones simples de suma, resta, multiplicación, división, extracción de raíces) porque se producía una asimetría que impedía la resolución. La simetría se rompe en el grado quinto.
Aunque se habla de grupos de simetría y de cuerpos, son grupos y cuerpos algebraicos. Este problema se ha desarrollado de forma algebraica también, sin referencias visuales.
No he encontrado hasta ahora representaciones no algebraicas de los grupos de Galois. Pero pienso que los grupos de Galois pueden representarse con diagramas.
El siguiente diagrama representa un cuerpo inicial, formado por la ecuación de primer grado en la que dos curvas o funciones conjugadas (opuestas) se anulan entre ellas al intersectarse. Es como si sumamos (+1) + (-1) =0
Si rotamos, o permutamos, cada curva hacia las diferentes coordenadas, cada rotación representará que incrementamos un grado. Al hacerlo crearemos un cuerpo mayor que será una «extensión» (al englobarlo) del cuerpo inicial de grado 1.
Así podemos hacerlo con las permutaciones con las que construimos las ecuaciones de grado 2, 3, y 4.
Con cada una de ellas creamos un cuerpo de grado superior que es una extensión de todos los anteriores de grado inferior.
Dependiendo de como hagamos las permutaciones, por ejemplo, si permutamos ambas funciones conjugadas o sólo permutamos una de ellas, encontramos estructuras diferentes.
Así, permutando ambas ecuaciones hacia los ejes reales XY, al llegar al grado 5 encontramos que se forma un nuevo cuerpo de grado -1 que es simétrico, con simetría de espejo, del cuerpo raíz de grado +1.
Entonces al construir la extensión de grado 5 vemos que es una proyección o prolongación del cuerpo raíz -1, y esto cambia la simetría del sistema porque la intersección que enfrenta a las funciones inversas de grado cinco no se produce en el punto cero sino en el punto -1. Y la extensión 5 no sólo incluye las subextensiones de grado 4,3, 2 y el cuerpo 1, sino que también es una extensión del cuerpo -1.
(He puesto en rojo la ecuación de grado 5 para mostrar la diferencia. Todas las extensiones que forman las ecuaciones de grado 1 al 4 tienen su origen en el punto 0, mientras que en la extensión de la ecuación de grado 5 se produce un desplazamiento desde el punto 0 al punto -1, que cambia la simetría de la extensión 5 con respecto a la de las extensiones de grados 1 al 4.)
Quiere esto decir que las ecuaciones de quinto y superior grado no pueden resolverse con radicales?
El hecho de que exista una simetría en la extensión de grado 5 puede llevarnos a buscar la simetría que falta en una función simétrica de grado -5.
Al crear la extensión de grado -5 del cuerpo +1 que es simétrica de la extensión de grado 5 del cuerpo -1, se crean nuevas subextensiones conjugadas en las extensiones de grados 2 al cuatro. Las voy a poner en color verde a continuación para que se aprecien:
Sin embargo, para que el sistema sea simétrico en todos sus elementos parece que sería necesario también que las extensiones de – 2, -3 y -4 grado están también presentes como subextnesiones de la extensión 5.
Construirlas implicará el uso de 8 cuerpos iniciales de grado 1, lo que dará lugar a nuevas subextensiones:
Como pueden ver, al hacerlo hemos creado dos grupos simétricos de extensiones de grado 5 sobre dos cuerpos inciales de grado 1. Las extensiones de grado 2, 3, 4 lo son respecto de sólo un cuerpo inicial de grado 1, (el cuerpo +1 o el -1) mientras que las extensiones de grado 5 lo a son respecto de dos extensiones (el cuerpo + 1 y el -1).
Así, a cada +Y y -Y del sistema, vemos que al proyectar dos extensiones complejas conjugadas se forman una extensión compleja de grado 2 a ambos lados de la coordenada Z; y que hay dos extensiones complejas conjugadas de grado dos que el proyectarlas o prolongarlas crean una extensión de grado 3 en el eje Z que va a ser compleja conjugada respecto a la otra extensión de grado 3 que se forma en la otra coordenada Z. Con ambas extensiones se forma una extensión de grado 4 a ambos lados del eje intermedio entre -Z e Y, que va a ser compleja conjugada respecto a la otra extensión de grado 4 que se forma a ambos lados del eje intermedio entre +Z e Y; y prolongado ambas extensiones de grado 4 se forma una extensión de grado 5 sobre el eje +Y. Prolongando esta extensión de grado 5 sobre +Y y la que se forma (con sus subextensiones) en -Y, se forman dos nuevas extensiones de grado 5 y -5 en el eje de coordenadas X y -X.
Estas extensiones reales de grado 5 y -5 sobre X van a ser extensiones de las extensiones de grado +5 y -5 sobre +Y y -Y, y de todas las subextensiones de ambas.
Las extensiones de grado 5 sobre X y -X lo son de 8 cuerpos iniciales de grado 1, 8 de grado 2, 8 de grado 3, y 8 de grado 4.
Las extensiones de grado 5 sobre + Y y -Y lo son de 8 cuerpos de grado 1, 8 de grado 2, 6 de grado 3, y 4 de grado 4.
Pienso que estas subextensiones serían ciclos de Hodge en un espacio de Riemann (formado por espacios o campos y subespacios o subcampos intersectados). Así, el problema de la simetría y asimetría de los grupos de Galois estaría relacionado con los ciclos de Hodge.
El Instituto Clay resume la conjetura de Hodge en la siguiente frase:
«La conjetura de Hodge afirma que para un tipo de espacios particularmente agradables llamados variedades algebraicas proyectivas, los bloques llamados «ciclos de Hodge» son realmente combinaciones de bloques geométricos llamados ciclos algebraicos.»
(«The Hodge conjecture asserts that for particularly nice types of spaces called projective algebraic varieties, the pieces called Hodge cycles are actually (rational linear) combinations of geometric pieces called algebraic cycles.»)
Mi impresión es que la extensión de la ecuación de grado 5 que se construye mediante la proyección – o prolongación – de las curvas de la ecuación que forman el cuerpo -1, es una variedad proyectiva algebraica; y que los ciclos de Hodge son las subextensiones que se obtienen al combinar la variedad proyectiva algebraica que es la extensión formada por la proyección de las curvas del cuerpo +1.
Actualmente no se conoce cuál es la geometría de los bloques geométricos llamados «ciclos de Hodge», y a qué geometría puedan corresponder es uno de los llamados «problemas del milenio» promovidos por el Instituto Clay.
Pienso que de forma similar a lo que hemos visto en el modelo atómico dual o compuesto, los ciclos de Hodge serían subcampos creados por la intersección de campos simétricos.
Puede resolverse la ecuación de quinto grado con radicales si usamos múltiples ecuaciones de quinto grado que haceen que la totalidad del sistema sea simétrico entre sí?
Otra forma de representar esta idea de las ecuaciones quínticas en relación a los grupos de Galois y los ciclos de Hodge es, permutando nada más una de las funciones de grado 1 incrementando los grados por medio de las coordenadas complejas z, de la siguiente manera:
Vemos que el cuerpo de grado uno es el cuerpo inicial; el cuerpo de grado 2 es una extensión del cuerpo de grado 1; el cuerpo de grado 3 es una extensión del cuerpo 2 y del 1; el cuerpo de grado 4 es una extensión del cuerpo 3, del 2 y del 1. De modo que también puede decirse que los cuerpos 3 y 2 son subextensiones de la extensión de grado 4 y que todos estos cuerpos forman un grupo de simetría del cuerpo inicial 1.
Pero cuando trazamos el cuerpo de grado 5, que es una extensión de todos los de grado anterior observamos que cuando volvemos desde la instancia 5 al origen pasando por a las instancias -4, -3, -2, llegamos de nuevo al cuerpo inicial de grado 1. Así, el cuerpo de grado 1 está doblemente incluido en la extensión de grado 5, una vez en cada una de las funciones conjugadas de grado. Y además una parte de esta extensión de grado 5 (la parte que corresponde al cuerpo 1) está incluida en las extensiones 2, 3, y 4.
Con lo que resulta que siendo el cuerpo 5 una extensión de los cuerpos 4, 3, 2, 1 (y siendo los cuerpos 4,3,2, subextensiones de la extensión 5 respecto al cuerpo inicial 1), las subextensiones 4, 3, 2, son a su vez extensiones de la extensión 5 en lo que se refiere al cuerpo 1.
Creo que a esta particularidad, esta especie de «broche» entre funciones, se relaciona con la llamada «inmersión» o «encaje»de campos de Galois.
Cómo obtenemos aquí el resto de subextensiones que corresponderían con los ciclos de hodge de las extensión de grado 5 y de sus subextensiones?
Lo primero que hay que hacer es buscar la extensión inversa de 5 grado. Y eso supone por una parte crear un función inversa de una las funciones de grado 1 que forman el cuerpo 1 inicial y prolongarla hasta el grado 5; y por otra parte supone prolongar la extensión de grado 3 hasta el grado 5:
Pero para llegar a la instancia 5 vemos que nos falta la extensión intermedia 4, como si faltaran el cuarto piso en un edificio y tratamos de subir por la escalera desde el piso 3 al 5. Para solventar este problema tendríamos que crear nuevos cuerpos iniciales de grado 1, y prolongarlas para crear las extensiones intermedias que falten en ese camino.
Y aún faltarían por completar estas otras:
Aún faltaría por desarrolla de resto de simetrías que surgen de los cuerpos de grado 1 que faltan, pero el resultado sería similar al que hemos visto en las figuras anteriores.
La creación de estos grupos pienso que estaría relacionada con el problema de «Galois inverso».
Es una pena que toda la matemática moderna se halla desarrollado de forma abstracta (tan abstracta como para llegar al punto de no saber cuál es la geometría de las estructuras que han desarrollado, como es el caso de los ciclos de Hodge). Hasta ahora no he encontrado ningún libro ni trabajo que presente una teoría de Galois sin álgebra.
Sin embargo he encontrado un vídeo en el Enrique Castillo Ron presenta un curso de álgebra que se explica a partir de lo que llama «cono dual» o «cono polar», que es una figura similar a la que hemos visto anteriormente:
Llegará un momento en que las matemáticas y la física puedan explicarse por medio de geometría no algebraica? Yo espero que sí.
El profesor Castillo es catedrático de matemática aplicada. Si tiene interés en este enlace de la Universidad de Castilla La Mancha tienen todo el curso:
https://www.uclm.es/es/conocimiento/cursos/algebra-1-en
.
https://meteo.unican.es/temp/castie/CURSOALGEBRA/CURSOALGEBRANUEVO1.html
https://meteo.unican.es/temp/castie/CURSOALGEBRA/CURSOALGEBRANUEVO2.html
Viendo alguno de estos vídeos me he dado cuenta de que lo que explica usando matrices es muy similar a lo que hemos hecho aquí con la intersección de funciones. Nosotros hemos dividido el espacio en intervalos iguales y a través de ellos hemos construido las estructuras y subestructuras sobre un espacio plano. En cambio, el profesor parece que limita el algoritmo que usan a figuras ortogonales, o sea, que se construyen sobre el eje vertical.
Pensando en la posibilidad de aplicar el algoritmo a nuestros espacios planos con proyecciones algebraicas, grupos de Galois y ciclos de hodge que se forman en la intersección de las funciones, viendo que su algoritmo puede calcular subespacios dados por intersecciones, viendo además que lo que habla de espacios complementarios y espacio ortogonal se correspondería con lo que aquí llamamos extensiones o subextensiones complejas conjugadas y extensión o subextensión neutra, y viendo que en su algoritmo descartan las repeticiones, lo que trasladado al caso de la función quíntica que vimos supondría descartar el cuerpo inicial 1 cuando este se repite al construir la extensión de grado 5, me ha llevado a pensar:
Y cómo podríamos descartar la repetición del cuerpo 1 para que la simetría de la extensión 5 formada por las funciones 5 y -5 se mantenga dentro del grupo de simetría de las extensiones y subextensiones 4, 3, y 2, y el cuerpo 1?
Podríamos salvarla permutando la función 1 al plano ortogonal?
Aquí muestro cómo sería la permutación o rotación de la función de grado 1 y -1 del plano horizontal al ortogonal:
Si la permutación de la función inicial 1, en vez de hacerla en el plano horizontal la dirigimos hacia el plano ortogonal, no podemos construir así una extensión de grado 5 que no sea una doble extensión de la función 1? Y si podemos hacerlo, no mantendrá la extensión 5 ortogonal la simetría del grupo 1 a 4 horizontal?
Pienso que tampoco la mantendría, porque estamos utilizando en todo caso ocho coordenadas para hacer las permutaciones, y en la quinta extensión siempre se va a producir repetición del cuerpo 1 porque la extensión 5 formada por la intersección de las funciones +5 y – 5 requiere 10 permutaciones.
En fin. Que si han sido capaces de leerse todo el post les felicito por su tenacidad. Y si han llegado de cualquier otra manera hasta el final les felicito en todo caso por su curiosidad.
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Tengan ustedes un feliz día
Madrid.
4 de mayo
CURVATURAS VARIANTES 